UMO/1회

제 1회 UMO

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주의사항

괄호 안 번호는 신경 쓰지 말 것. 각 문제당 5점. 오답시 감점 2점.

1. 소수 p와 정수 x, y가 4xy=p(p+2x+2y)를 만족할 때, p^2+x^2+y^2의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.(256)

2. 관계식 p^3+x^3+y^3=1을 만족시키는 양의 실수 x, y, z에 대하여 다음 식의 최솟값을 구하여라.(243)
100-26x^3-27xyz

3. 방정식 x(x+5)=y(y+2)를 만족하는 양의 정수의 순서쌍 (x, y)의 개수를 구하여라.(213)

4. 다음 세 수의 최대공약수를 구하여라.(292)
5^2000-24*999-25
5^2002-24*100-25
5^2004-24*101-25

5. 두 이차식 (2x-3)(3x-7)=a, (2x-5)(3x-10)=1050/a를 모두 만족하는 실수 x가 존재하도록 하는 0이 아닌 실수 a를 모두 더한 것을 구하여라.(289).

6. 방정식 x^2+2y^2-2xy-4=0을 만족하는 실수 x, y에 대하여 xy(x-y)(x-2y)의 최댓값을 구하여라.(294)

7. 다음 두 식을 만족하는 양의 정수의 순서쌍(a, b, c, d, e)의 개수를 구하여라.(291)

8. 양의 정수 a, b, c가 a+b+c+9=ab+bc+ca를 만족할 때, abc의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 수를 구하여라.(258)

9. 어떤 양의 정수 n의 양의 약수의 개수는 6개이고, 이 약수들의 합은 (3n+9)/2이다. n의 값을 구하여라.(205)

10. 관계식 x^3+y^3+z^3=3을 만족시키는 양의 실수 x, y, z에 대해 다음 식의 최댓값을 구하여라.
26x^3+27xyz