UMO/1회

괄호 안 번호는 신경 쓰지 말 것. 각 문제당 5점. 오답시 감점 2점.

1. 소수 p와 정수 x, y가 4xy=p(p+2x+2y)를 만족할 때, p^2+x^2+y^2의 값이 될 수 있는 수 중 가장 큰 것을 구하여라.(256)

2. 관계식 p^3+x^3+y^3=1을 만족시키는 양의 실수 x, y, z에 대하여 다음 식의 최솟값을 구하여라.(243)
100-26x^3-27xyz

3. 방정식 x(x+5)=y(y+2)를 만족하는 양의 정수의 순서쌍 (x, y)의 개수를 구하여라.(213)

4. 다음 세 수의 최대공약수를 구하여라.(292)
5^2000-24*999-25 5^2002-24*100-25 5^2004-24*101-25

5. 두 이차식 (2x-3)(3x-7)=a, (2x-5)(3x-10)=1050/a를 모두 만족하는 실수 x가 존재하도록 하는 0이 아닌 실수 a를 모두 더한 것을 구하여라.(289).

6.방정식 x^2+2y^2-2xy-4=0을 만족하는 실수 x, y에 대하여 xy(x-y)(x-2y)의 최댓값을 구하여라.(294)