UPO/4회

1일차 문제

f(x)를 다음과 같이 정의하자.

f(0)=0, f(1)=1
f(2n)=f(n), f(2n+1)=f(n)+1 (단, n은 자연수)

한 사람이 수직선의 원점(0의 점) 위에 있다. 1부터 n까지의 수를 임의로 배치한 다음, 앞에 있는 수부터 차례대로 다음 과정을 반복한다.

1) 수가 짝수일 경우: 오른쪽(양의 방향)으로 f(x)만큼 움직인다.
2) 수가 홀수일 경우: 왼쪽(음의 방향)으로 f(x)만큼 움직인다.

이 과정을 완료한 뒤 사람이 서 있는 위치를 g(n)이라 하자. 단, g(0)=0이라고 하자.

이때, 아래 문제들을 풀어라.

1. f(1048574)의 각 자리 수의 합을 구하시오.
2. 임의의 자연수 n에 대해, g(n)이 유일함을 증명하시오.
3. g(15), g(16)을 구하시오.
4. n이 자연수일 때, g(n)의 최댓값과 그때의 n을 구하시오.
5. g(2019)를 구하고, n이 홀수일 때 g(n)을 구하시오.
6. k(x)=g(x-4)-g(x-3)-g(x-2)+g(x-1)라 하자. n이 4의 배수일 때 ${\frac {k(4)+k(8)+\cdots +k(n)}{n}}$을 구하여라.

1번 (해결)

1. 2 --Rika14369(토론)(기여:회) 2019년 4월 1일 (월) 21:45 (KST)

   오답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 2일 (화) 18:24 (KST)

2. 28 사용자:Kh0505/서명 2019년 4월 2일 (화) 19:58 (KST)

   오답입니다... -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 2일 (화) 20:25 (KST)

3. 10 사용자:Kh0505/서명 2019년 4월 2일 (화) 20:57 (KST)

   정답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 2일 (화) 21:03 (KST)

3번 (해결)

1. -4, 1 --Rika14369(토론)(기여:회) 2019년 4월 1일 (월) 21:50 (KST)

   오답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 2일 (화) 18:24 (KST)

2. 8, -8 사용자:Kh0505/서명 2019년 4월 2일 (화) 20:00 (KST)

   오답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 2일 (화) 20:25 (KST)

3. 19, 15 사용자:Kh0505/서명 2019년 4월 2일 (화) 21:09 (KST)

   오답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 2일 (화) 21:21 (KST)

4. -8, -7 사용자:Kh0505/서명 2019년 4월 2일 (화) 22:12 (KST)

   정답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 2일 (화) 22:14 (KST)

5번 (해결)

1. 2027, 2036 사용자:Kh0505/서명 2019년 4월 2일 (화) 21:13 (KST)

   오답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 2일 (화) 21:21 (KST)

2. -1010, g(n)=-(n+1)/2 사용자:Kh0505/서명 2019년 4월 2일 (화) 23:19 (KST)

   정답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 2일 (화) 23:39 (KST)

6번 (해결) <명예의 전당 문항>

1. $-{\frac {1}{4}}$ QuantumGravity, 완성되지 않은 이론 (토론) 2019년 4월 14일 (일) 13:50 (KST)

   정답이긴 합니다만은, 혹시 풀이를 알 수 있을까요? -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 15일 (월) 08:16 (KST)

   2번을 풀면 $g\left(x\right)=\sum _{i=1}^{n}{\left(-1\right)^{i}f\left(i\right)}$임을 알 수 있습니다. 따라서 $k\left(x\right)=\left(-1\right)^{x-1}f\left(x-1\right)-\left(-1\right)^{x-3}f\left(x-3\right)$입니다. $x$가 4의 배수라면 $4s+4$(단, $s$는 음수가 아닌 정수) 꼴로 쓸 수 있어서

${\begin{aligned}k\left(x\right)&=\left(-1\right)^{x-1}f\left(x-1\right)-\left(-1\right)^{x-1}f\left(x-3\right)\\&=\left(-1\right)^{4s+3}f\left(4s+3\right)-\left(-1\right)^{4s+3}f\left(4s+1\right)\\&=-\left(f\left(2s+1\right)+1\right)+\left(f\left(2s\right)+1\right)\\&=-f\left(2s+1\right)+f\left(2s\right)\\&=-f\left(2s+1\right)+f\left(2s\right)\\&=-\left(f\left(s\right)+1\right)+f\left(s\right)\\&=-1\end{aligned}}$

이므로 ${\frac {k(4)+k(8)+\cdots +k(n)}{n}}={\frac {-n/4}{n}}=-{\frac {1}{4}}$입니다(?!). 이제 보니 부호가 반대였다 카더라. QuantumGravity, 완성되지 않은 이론 (토론) 2019년 4월 16일 (화) 09:41 (KST) QuantumGravity, 완성되지 않은 이론 (토론) 2019년 4월 16일 (화) 15:17 (KST)

죄송합니다. 부호가 잘못된 걸 못 봤네요. 정답 맞습니다.

2일차 문제

f(x, y)를 다음과 같이 정의한다. 삼각형 ABC에서 각 B는 직각이고, AB=x, BC=y이다. 이때 각 A를 f(x, y)라 하자.

이때, 아래 문제들을 풀어라. 단, 중학교 수준 이내에서 풀어야 한다.

1. 임의의 실수 x, y, r에 대해, f(x, y)=f(rx, ry)임을 증명하여라.
2. f(1, 1) = 3/4 f(1, a)를 만족하는 양의 실수 a를 구하여라.
3. f(2, 1)+f(3, 1)=f(b, 1)을 만족하는 양의 실수 b를 구하여라.
4. f(3, 1)+f(5, 1)+f(7, 1)+f(8, 1)=f(c, 1)을 만족하는 양의 실수 c를 구하여라.
5. 임의의 양의 실수 x, y에 대해 f(x, 1)+f(y, 1)=f(z, 1)인 양의 실수 z를 x, y에 대해 나타내어라.

1번 (해결)

1. 두 변에 각각 같은 수를 곱하면 자연히 삼각형은 모든 변의 길이가 일정하게 변화하면서 이전의 삼각형보다 커지거나 작아지겠죠. 여기서 이전의 삼각헝과 새로 만든 삼각형은 변의 길이만 조정되었을 뿐 모든 각은 그대로인 닮음꼴이라 할 수 있습니다. 따라서 f(x,y)와 f(rx, ry)는 같지요. 사용자:Kh0505/서명 2019년 4월 16일 (화) 23:42 (KST)

   정답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 17일 (수) 08:08 (KST)

5번

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