UPO/4회

1일차 문제

f(x)를 다음과 같이 정의하자. f(0)=0, f(1)=1 f(2n)=f(n), f(2n+1)=f(n)+1 (단, n은 자연수)

한 사람이 수직선의 원점(0의 점) 위에 있다. 1부터 n까지의 수를 임의로 배치한 다음, 앞에 있는 수부터 차례대로 다음 과정을 반복한다. 1) 수가 짝수일 경우: 오른쪽(양의 방향)으로 f(x)만큼 움직인다. 2) 수가 홀수일 경우: 왼쪽(음의 방향)으로 f(x)만큼 움직인다. 이 과정을 완료한 뒤 사람이 서 있는 위치를 g(n)이라 하자. 단, g(0)=0이라고 하자.

이때, 아래 문제들을 풀어라.

1. f(1048574)의 각 자리 수의 합을 구하시오. 2. 임의의 자연수 n에 대해, g(n)이 유일함을 증명하시오. 3. g(15), g(16)을 구하시오. 4. n이 자연수일 때, g(n)의 최댓값과 그때의 n을 구하시오. 5. g(2019)를 구하고, n이 홀수일 때 g(n)을 구하시오. 6. k(x)=g(x-4)-g(x-3)-g(x-2)+g(x-1)라 하자. n이 4의 배수일 때 (k(4)+k(8)+...+k(n))/n을 구하여라.

2일차 문제

f(x, y)를 다음과 같이 정의한다. 삼각형 ABC에서 각 B는 직각이고, AB=x, BC=y이다. 이때 각 A를 f(x, y)라 하자.

이때, 아래 문제들을 풀어라. 단, 중학교 수준 이내에서 풀어야 한다.

1. 임의의 실수 x, y, r에 대해, f(x, y)=f(rx, ry)임을 증명하여라. 2. f(1, 1) = 3/4 f(1, a)를 만족하는 양의 실수 a를 구하여라. 3. f(2, 1)+f(3, 1)=f(b, 1)을 만족하는 양의 실수 b를 구하여라. 4. f(3, 1)+f(5, 1)+f(7, 1)+f(8, 1)=f(c, 1)을 만족하는 양의 실수 c를 구하여라. 5. 임의의 양의 실수 x, y에 대해 f(x, 1)+f(y, 1)=f(z, 1)인 양의 실수 z를 x, y에 대해 나타내어라.

5번

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