UPO/3회

1일차 문제

한 자리 수와 고등학교 수준까지의 연산 기호를 사용하여 다음 수들을 만드시오. (극한, 미적분 제외) 단, 한 자리 수를 최대한 적게 써야 한다.

1. 35
2. 121
3. 517
4. 524288
5. 111111111111111111
6. 209952 (Hint: 소인수분해.)
7. 4032000

1일차 답란

1번 (해결)

1. 7x5 — Malgok1 (토론·기여) 2019년 2월 27일 (수) 17:40 (KST)

   정답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 17:41 (KST)

2번 (해결)

1. (6+5)²--—MRT In Love Liver (토론) (산천 게임즈) (JR GAMES)(기여횟수:3회) 2019년 2월 27일 (수) 17:42 (KST)

   더 적게 할 수 있습니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 17:46 (KST)

2. 5 C 2 — Malgok1 (토론·기여) 2019년 2월 27일 (수) 17:45 (KST)

   ??? 오답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 17:46 (KST)

3. 5!+1 —Js091213 (토론) 2019년 2월 27일 (수) 17:47 (KST)

   정답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 17:50 (KST)

3번 (해결)

1. 2^9+5 — Malgok1 (토론·기여) 2019년 2월 27일 (수) 17:51 (KST)

   정답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 17:52 (KST)

4번 (해결)

1. 2⁹⁺⁹⁺¹ -- 이의섭(사토|기여|노 백괴게임, 노 잼) 2019년 2월 27일 (수) 17:51 (KST)

   더 적게 가능합니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 17:53 (KST)

2. 4⁹*2 —Js091213 (토론) 2019년 2월 27일 (수) 17:57 (KST)

   정답! -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 17:58 (KST)

3. 8×4⁸ -- 이의섭(사토|기여|노 백괴게임, 노 잼) 2019년 2월 27일 (수) 17:59 (KST)

   이미 정답자가 나왔습니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 18:04 (KST)

5번 (해결)

1. ((5×2)⁹⁺⁹⁺¹-1)÷9 -- 이의섭(사토|기여|노 백괴게임, 노 잼) 2019년 2월 27일 (수) 18:03 (KST)

   계산 결과가 틀렸습니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 18:04 (KST)

2. {(5x2)^(3x6)-1}/9. —Js091213 (토론) 2019년 2월 27일 (수) 18:54 (KST)

   정답! -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 18:55 (KST)

6번 (해결)

1. 2^5x3^8 — Malgok1 (토론·기여) 2019년 2월 27일 (수) 18:07 (KST)

   더 좋은 게 있습니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 18:09 (KST)

2. 6⁸/8. —Js091213 (토론) 2019년 2월 27일 (수) 18:49 (KST)

   정답! -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 18:49 (KST)

7번 (해결)

1. 8!×(2×5)² --Rika14369(토론)(기여:회) 2019년 2월 27일 (수) 18:17 (KST)

   정답! 대단하십니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 18:18 (KST)

2일차 문제

1. 1x2의 도미노 블록으로 5x5 격자판을 채우지 못하는 이유는?
2. 8x8 체스판에서 대각선으로 인접한 두 칸을 제거하였다. 1x2 도미노 블록으로 이 체스판을 채우지 못하는 이유는?
3. 어떤 크기의 직사각형 격자판이 있더라도 5칸으로 이루어진 十 모양 블록으로 직사각형 격자판을 채우지 못한다. 그 이유는?
4. 2018x2018 크기의 체스판을 4칸으로 이루어진 T 모양 블록으로 채우지 못함을 보여라.
5. 위 (4)번을 바탕으로 nxn 체스판 중 4칸으로 이루어진 T 모양 블록으로 채울 수 있는 것을 모두 찾아라. (단, n은 자연수)

힌트) 2, 4, 5번은 조금 어려울 수 있습니다. 4번은 2번을 응용해 생각하면 되겠습니다.

힌트 2) 5번 문제가 오랜 기간 안 풀리네요. 4x4 체스판을 T 모양 블록으로 채울 수 있다는 걸 생각해 보세요.

2일차 답란

1번 (해결)

OOOOO

OOOOO

OOOOO

OOOOO

OOOOO이 체스판이고

XX가 블럭일 때

XXXXX

XXXXX

XXXXX

XXXXX

XXXXO

외 같이 한칸씩 블럭이 남기 때문이며 수학적으로는 25칸/2칸으로 나머지 1이 나옵니다. — Malgok1 (토론·기여) 2019년 2월 27일 (수) 22:02 (KST)

정답입니다. 사실 마지막 줄만 써도 맞습니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 22:11 (KST)

2번 (해결)

1. 정답: 8X8 격자판에서 빼낸 대각선으로 인접하는 2개의 색은 같고, 같은 색의 격자를 채울 수 있는 도미노가 있을 리 없기 때문입니다. --My 名前ㄹ은 읎앖앖앖! (토기겜) 2019년 2월 28일 (목) 17:09 (KST)

   조금 더 자세한 설명 부탁드립니다. 키워드가 빠져 있네요. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 28일 (목) 17:38 (KST)

   대각선으로 인접하는 2개의 네모의 색은 같습니다. 왜냐하면 체스판은 두 개의 색이 서로 번갈아가면서 나오는 패턴이기 때문이죠.
   (예시:
   □■□■□■□■
   ■□■□■□■□
   □■□■□■□■)
   즉 대각선으로 인접하는 2개의 사각형을 뺐을 때 그 두 개의 사각형이 모두 검은색이라 가정했을 때 흰색은 32개, 검은색은 30개가 됩니다. 즉 모든 체스판을 다 채우려 해도 흰색 2개가 남게 되는 거죠. 흰색 2개를 채우려면 대각선으로 된 도미노가 필요한데, 그런 게 있을 리가 없죠. 이러한 이유로 8X8에서 대각선으로 인접하는 사각형 2개를 뺀 채로 도미노를 채우는 것은 불가능합니다.--My 名前ㄹ은 읎앖앖앖! (토기겜) 2019년 2월 28일 (목) 18:02 (KST)

   정답입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 28일 (목) 18:05 (KST)

3번 (해결)

1. 구석 모서리 끄트머리에 1칸씩 남기 때문입니다. — Malgok1 (토론·기여) 2019년 2월 27일 (수) 22:18 (KST)

   맞습니다. 구체적으로는, 왼쪽 위의 칸을 채울 방법이 없기 때문입니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 27일 (수) 22:19 (KST)

4번 (해결)

1. 사실 2018이란 숫자는 함정이고, T자 조각으로 체스판을 채울 수 있는 방법 자체가 존재하지 않는다. 왜냐하면 3줄의 공간을 2개의 T자 블록(ㅜㅗ)으로 채울 수 있는데, 여기서 왼쪽에 생기는 세로 2칸의 공백을 채울 방법이 존재하지 않기 때문입니다.--My 名前ㄹ은 읎앖앖앖! (토기겜) 2019년 2월 28일 (목) 17:12 (KST)

   틀렸습니다.

   금지 사항입니다

   충분한 설명이 될까요? (문제를 자세히 읽어 보세요. 네 칸짜리 T 블록입니다.) -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 28일 (목) 17:44 (KST)

   그렇군요. 4X4로 된 저 블록으로 채우게 된다면 2018은 4의 배수가 아니므로 가로세로 2줄이 남게 됩니다. 이때 이 2줄을 채울 수 있는 방법이 존재하지 않기 때문에 이 방법은 불가능합니다. --My 名前ㄹ은 읎앖앖앖! (토기겜) 2019년 2월 28일 (목) 18:06 (KST)

   참고로 4X4블록의 줄을 더 뺀다고 해도 완벽한 정사각형을 만드는 최소한의 방법이 4X4밖에 없기 때문에 4*n+2줄을 채울 수 있는 방법은 없습니다. --My 名前ㄹ은 읎앖앖앖! (토기겜) 2019년 2월 28일 (목) 18:06 (KST)

   그것만 가지고는 증명이 불가능합니다. 완벽한 정사각형을 만드는 최소한의 방법이 4X4밖에 없다는 것의 증명이 필요하고, 설사 4X4밖에 없다고 해도 직사각형으로 이룰 수도 있으니까요. 체스판은 두 가지 색으로 이루어져 있다는 것을 생각해 보세요. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
   만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 28일 (목) 18:11 (KST)

□■□■
■□■□
□■□■

체스판은 위와 같이 두 색이 서로 번갈아 놓여있습니다.

그럼, 4칸짜리 T 블럭에서는

□■□ 이나 ■□■
  □          ■

으로 채울 수 있겠죠.

그럼 어떻게든 아귀를 맞췄다고 치고 채운 칸들의 수를 계산해볼게요.

4x4짜리 정사각형의 이미지를 분석하면, 위 두 가지 패턴이 1:1 비율로 맞춰진다는 걸 알 수가 있습니다.

즉, 2018x2018짜리에서는 총 1,018,081조각이 1:1비율이어야 하는데, 이 수는 홀수이기 때문에 조각을 1:1비율로 맞출 수가 없습니다.

따라서,

□■□ 이나 ■□■
  □          ■

로는 2018x2018짜리 체스판을 다 채우지 못합니다. 이게 뭔 개소리야 — Malgok1 (토론·기여) 2019년 2월 28일 (목) 19:25 (KST)

맞습니다. 모범 답안은 추후 공개하죠. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 2월 28일 (목) 19:31 (KST)

5번 (해결) <명예의 전당 문항>

1. 위의 4번 풀이과정을 곰곰이 생각해보면, 사실 4×4짜리의 정사각형 블럭으로 4칸짜리 t자 모양 블럭들을 조합할 수 있다는 걸 알 수 있습니다.

●○○○
●●○■
●□■■
□□□■

이런 식으로 말이죠. 사실 이 외에 있는 다른 경우는 거의 찾을 수가 없고(애초에 이렇게 완전하게 뭘 채울 수 있는 t자 블럭 조합을 찾는게 노가다니 말이죠) 결국 체스판을 채울 수 있는 t자 블럭 조합은 4×4짜리의 저 정사각형뿐일 겁니다.

따라서 n×n 체스판(정사각형이죠) 안에 t자 블럭을 모두 채워넣으려면 결국 4×4짜리를 이용할 수 있도록

n=4의 양의 배수일 때 n×n짜리 체스판을 모두 채워넣을 수 있음

위의 가정이 필요하다고 할 수 있겠습니다. 원래 3월 말에 풀어놓은 상태였는데 어찌 설명해야 할지 몰라서 좀 시간이 걸렸네요. — Malgok1 (토론·기여) 2019년 4월 16일 (화) 21:49 (KST)

답은 맞지만 풀이과정이 틀리므로 인정하지 않겠습니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 16일 (화) 21:52 (KST)

2. 다시 해 봅시다. 4번 풀이과정에 따르면 어떻게든 아귀를 맞추었다 쳤을 때, 체스판 색깔이 채워지는 두 가지 패턴 조각 수 비율이 1:1이어야 한다, 체스판 칸의 수가 짝수여야 한다라고 했었죠.

저는 거기서 더 나아가, 체스판의 칸 개수가 2의 거듭제곱이 되어야 한다는 것도 알아냈습니다. 그러니깐 6×6칸짜리나 22×22짜리 같은 것들은 조각 패턴의 1:1 비율이 성립할 수 없단 거죠. 2018×2018도 마찬가지고요.

이 사례들을 파고들어 풀어보면 결국은 n^2이 2의 n승이어야 한단 거구요, 추가적으로 방정식으로 풀었을 때

n×n=2^n
n^2=2^n

이어야 하고, 대입법으로 풀었을 때 이를 만족하는 것은 4와 그 배수들뿐입니다. 따라서...

n=4의 양의 배수일 때 n×n짜리 체스판 안에 4칸짜리 T자 블럭들을 모두 채워넣을 수 있음

위의 가정이 맞다고 할 수 있겠습니다. 4번을 응용했더니 되었지만, 또 틀린 것 같기도... — Malgok1 (토론·기여) 2019년 4월 16일 (화) 21:49 (KST)

틀렸습니다. 왜 그런지는 n에 12를 넣으면서 직접 확인해 보시기 바랍니다. -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 4월 16일 (화) 23:03 (KST)

n이 홀수일 때랑(이유는 뻔함) n을 4로 나눈 나머지가 2일 때(문제 4번) 안 된다는 걸 표현하려 하신 것 같습니다. 조금만 정리하시면 될 것 같네요. QuantumGravity, 완성되지 않은 이론 (토론) 2019년 4월 21일 (일) 15:55 (KST)

3. 일단, 블록 1개가 4칸이니 한 줄에 있는 칸 수는 반드시 짝수입니다. 이때, 한 줄에 있는 칸 수가 4배수는 아니지만 2배수인 경우에는 전체 칸 수가 4×(홀수)² 꼴로 나오게 됩니다. 여기서 체스 칸에 있는 흰색 칸과 검은색 칸의 비율은 1:1인데 T모양 블록으로 한 번 채우게 되면 그 경우는(위에서도 이미 충분히 나온 얘기지만)

□■□　이나　■□■
　□　　　　　　■

로 2가지가 나오는데 이 2가지 경우가 1:1로 나와야만 칸 전체를 덮을 수 있습니다. 그러나 전체 칸 수를 블록 하나가 덮을 수 있는 칸 수인 4로 나누게 되면 홀수가 나와 1:1로 맞출 수 없습니다.
그러나, 한 줄에 있는 칸 수가 4배수인 경우에는 16×(자연수)² 꼴로 나와 4로 나눠도 4×(자연수)² 꼴로, 1:1 비율을 만들어 낼 수 있습니다. 따라서 T모양 블록으로 체스판을 다 덮으려면 한 줄에 있는 칸 수는 4배수가 돼야 합니다. 사용자:뺶꾀싸쩐/서명 2019년 5월 13일 (월) 21:26 (KST)

정답입니다! -- Bd3076 (토론) (둘러보기)기여 횟수:
만든 게임: Bd3076의 게임 2019년 5월 14일 (화) 17:19 (KST)

2일차 정해

1번

귀류) $n$개의 조각으로 판을 채울 수 있다고 하자.

그럼 한 조각은 2칸이므로 $2n=25$가 성립한다.

즉 $n={\frac {25}{2}}$, n이 자연수가 아니므로 모순.

따라서 1*2 블록으로 2*5 판을 채울 수 없다.

2번

체스판을 검은색과 흰색으로 번갈아 칠하자. 대각선으로 인접한 2칸의 색은 같다.

즉 대각선으로 인접한 두 칸을 빼면 검은색과 흰색 칸 수는 다르다.

한편 1*2 도미노 블록을 체스판에 배치하면 흰 칸 하나와 검은 칸 하나를 차지한다.

즉 1*2 도미노 블록으로 판을 채우려면 검은 칸과 흰 칸의 수가 같아야 하므로, 이는 불가능하다.

3번

+ 블록으로 왼쪽 위의 칸을 채울 방법이 존재하지 않는다.

4번

채울 수 있다고 가정하자.

2번과 마찬가지로 체스판을 검은색과 흰색으로 번갈아 칠한다.

ㅗ 블록은 검은색과 흰색을 1:3 또는 3:1로 차지한다. 전자의 블록 개수를 x, 후자를 y라 하자.

총 칸 수는 $2018^{2}$이고 검은색과 흰 색의 칸 수는 같으므로 검은 칸과 흰 칸은 각각 ${\frac {2018^{2}}{2}}$개씩 있다.

즉, 아래가 성립한다.

$x+3y=y+3x={\frac {2018^{2}}{2}}$

이 식을 정리하면 $x=y$를 얻을 수 있다.

한편 총 블록의 개수는 ${\frac {2018^{2}}{4}}$이므로 계산하면 홀수이다.

따라서 $x+y$가 홀수인데, $x=y$이므로 $x,y$는 자연수가 아니다. 이는 모순.

5번

4번의 2018을 (4n-2)꼴로 바꾸면 쉽게 풀 수 있다.

토론란

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